Unidad 2.- Graficacion 2D
2.1. Transformación bidimensional.
Las transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Con frecuencia, a partir de figuras, se requiere presentarlas, realizando transformaciones en ellas.Las transformaciones permiten el redibujado de formas sin tener que calcular individualmente los valores para su representación.
Las transformaciones geométricas son procedimientos para calcular nuevas posiciones de coordenadas de estos puntos, como lo requiere un cambio especificado en tamaño y orientación del objeto. Las transformaciones bidimensionales comprenden la traslación, rotación y Escalación.
2.1.1. Traslación.
Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Se traslada cada punto P(x,y) dx unidades paralelamente al eje x y dy unidades paralelamente al eje y, hacia el nuevo punto P'(x',y').
Las ecuaciones quedan:
Si se definen los vectores columna queda:
Entonces la ecuación 1 puede ser expresada como:
Una forma de efectuar la traslación de un objeto es aplicándole a cada punto del mismo la ecuación 1. Para trasladar todos los puntos de una línea, simplemente se traslada los puntos extremos.
2.1.2. Escalamiento.
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación. Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.El escalamiento se hace con un factor sx en el eje x y en un factor sy en el eje y.
Escalamiento uniforme sx = sy
Escalamiento diferencial.
Escalamiento diferencial.
La transformación de escalamiento puede expresarse con las siguientes multiplicaciones
En forma matricial
Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y. El escalamiento se efectúa con respecto al origen;
Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.
Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y. El escalamiento se efectúa con respecto al origen;
2.1.3. Rotación
Los puntos también pueden ser rotados un ángulo θ con respecto al origen
En la figura se muestra la rotación de la casa 45º, con respecto al origen.
2.1.4. Sesgado.
El sesgado es un tipo de transformación no rígida, pues existe una deformación del objeto original al aplicar dicha transformación. Existen dos tipos de sesgo: sesgo horizontal y sesgo vertical.- Sesgo horizontal: Las coordenadas adyacentes al eje x permanecen fijas, los valores de y no cambian.
- Sesgo vertical: Las coordenadas adyacentes al eje y permanecen fijas, los valores de x no cambian.
2.2. Representación matricial de las transformaciones bidimensionales.
Las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar de representar un punto como (x, y, z), lo hacemos como (x, y, z, W), donde dos de estos cuádruplos representan el mismo punto si uno es un multiplicador distinto de cero del otro: no se permite el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la representación estándar de un punto (x, y, z, W) con W ≠ 0 se indica (x/W, y/W, z/W, 1).La transformación de un punto a esta forma se denomina homogeneización, igual que antes. Además los puntos cuya coordenada W es cero se llaman puntos en el infinito.
Las transformaciones geométricas tridimensionales que se estudian son tres en concreto: traslación, escalado y rotación.
TRASLACIÓN
Nos permitirá cambiar la posición de un objeto, moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a la posición final.
Requiere 3 parámetros:Tx = Desplazamiento en X
Ty = Desplazamiento en Y
Tz = Desplazamiento en Z
Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
x’= x+Tx
y’= y+Ty
z’= z+Tz
Donde:
Tx, Ty,Tz> 0 Desplazamiento positivo
Tx, Ty,Tz< 0 Desplazamiento negativo
Tx,Ty,Tz = 0 No hay desplazamiento
La matriz que utilizamos en la Traslación es de la forma:
Y al realizar la matriz el resultado gráfico es el siguiente:
ESCALACIÓN
La matriz para la transformación de escalación de una posición P = (x, y, z) con respecto del origen de las coordenadas. Consiste en cambiar el tamaño de un objeto. Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
− x’= x Sx
− y’= y Sy
− z’= z Sz
Requiere 3 parámetros:
Sx = Factor de escalación en X
Sy = Factor de escalación en Y
Sz = Factor de escalación en Z
Sx,Sy,Sz> 1 Aumenta la dimensión
Sx,Sy,Sz< 1 Disminuye la dimensión
Sx,Sy,Sz = 1 Se mantiene la dimensión
La matriz que se utiliza para la escalación es de la forma:
ROTACIÓN
Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto, y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).
Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio. Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen en coordenadas.
Se forma una matriz de rotación inversa al sustituir el ángulo de rotación θ por –θ. Los valores negativos para los ángulos de rotación generan rotaciones en una dirección en el sentido del reloj, de modo que se produce la matriz identidad cuando se multiplica cualquier matriz de rotación por su inverso.
Consiste en girar un objeto alrededor de uno de los ejes de coordenadas. Respecto al eje Z,
Por ejemplo, las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
− x’= x cos(α)- y sen(α)
− y’= x sen(α)+ y cos(α)
− z’= z
Donde α es el ángulo de giro.
2.3. Trazo de líneas curvas.
¿Que es el trazo de lineas?Diferentes tipos de líneas y situaciones en que se dibujan se resuelven con técnicas diferentes.
- Líneas cortas, o líneas que corren paralelas a otras que nos sirven de referencia.
- Líneas largas. Es el caso de líneas que unen dos puntos alejados, sin ninguna otra referencia. Las primeras líneas de cualquier croquis entran en esta categoría.
- Líneas cortas o líneas paralelas a otras ya existentes se las puede dibujar de un solo trazo. Primero se deben mirar bien los puntos de inicio y terminación para luego ejecutar el trazo.
2.3.1. Bézier.
Este tipo de curvas fue desarrollado por Pierre Bézier por encargo de la empresa de automóviles Renault™ que buscaba una representación matemática para definir las transiciones suaves en la curvatura de las líneas de sus automóviles.Se generan a partir de funciones polinómicas de grado tres que permiten la representación de cualquier forma curvada y evitan la complicación innecesaria de cálculos matemáticos que se produciría usando polinomios de mayor grado.
Cualquier trazado de estas características está definido por una serie de puntos por los que pasa la curva y otros exteriores a ella que definen sus puntos de inflexión, es decir, aquellos en que cambia de curvatura, pasando de cóncava a convexa o viceversa.
En un trazado Bézier existen "manejadores" en cada uno de sus nodos de manera que se puede alterar la curvatura a voluntad para adaptar el trazo a cualquier forma imaginable, controlando la suavidad de las zonas de transición.
2.3.2. B-spline
En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición. El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica. Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline
¿QUE ES?
Un fractal es básicamente una figura geométrica. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demás representaciones geométricas y es que son Auto semejantes, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita.
GEOMETRIA FRACTAL
GEOMETRIA FRACTAL
Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inaugura una nueva zona o región de lo real.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoit que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX Este conjunto se define así, en el plano complejo
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción.
Los conjuntos de Julia así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
El conjunto de Julia de una función holomorfa está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota .
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoit que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX Este conjunto se define así, en el plano complejo
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción.
Los conjuntos de Julia así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
El conjunto de Julia de una función holomorfa está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota .
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