Unidad 3.- Graficación 3D.
3.1. Representación y visualización de objetos en tres dimensiones.
En computación, un modelo en 3D es: “Un mundo conceptual en tres dimensiones”.
Un modelo 3D se ve de dos formas distintas:
Desde un punto de vista técnico, es un grupo de fórmulas matemáticas que describen un “mundo” en tres dimensiones.
Desde un punto de vista visual, valga la redundancia, un modelo en 3D es un representación esquemática visible a través de un conjunto de objetos, elementos y propiedades que, una vez procesados (renderización), se convertirán en una imagen en 3D o una animación 3d.
La representación de los objetos en tres dimensiones sobre una superficie plana, de manera que ofrezcan una sensación de volumen se llama Perspectiva. Se representan los objetos sobre tres ejes XYZ. En el eje Z, se representa la altura. En el eje Y, se representa la anchura y en el eje X, se representa la longitud. Los distintos tipos de perspectivas dependen de la inclinación de los planos Los sistema más utilizados son la isométrica, la caballera y la cónica.
Formas geométricas espaciales | |
| Figura |
Imagen
|
| Pirámide |  |
| Cuña |  |
| Prisma |  |
| Cilindro |  |
| Cono |  |
| Esfera |  |
| Elipsoide |  |
| Paraboloide |  |
| Hiperboloide |  |
LA PERSPECTIVA
La perspectiva es el arte de dibujar volúmenes (objetos tridimensionales) en un plano (superficie bidimensional) para recrear la profundidad y la posición relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción dimensional y distorsión angular, tal como los apreciamos a simple vista. Es en el renacimiento cuando se gesta la perspectiva como disciplina matemática, para conseguir mayor realismo en la pintura.
Perspectiva Caballera.- En ella los ejes X y Z tienen un ángulo de 90º y el eje Y con respecto a Z tiene una inclinación de 135º. En este caso las medidas en los ejes X y Z son las reales y las del eje Y tiene un coeficiente de reducción de 0.5.
El renderizado es un proceso de cálculo complejo desarrollado por un ordenador destinado a generar una imagen 2D a partir de una escena 3D. Así podría decirse que en el proceso de renderización, la computadora “interpreta” la escena 3D y la plasma en una imagen 2D.
La renderización se aplica a los gráficos por ordenador, más comúnmente a la infografía. En infografía este proceso se desarrolla con el fin de imitar un espacio 3D formado por estructuras poligonales, comportamiento de luces, texturas, materiales, animación, simulando ambientes y estructuras físicas verosímiles, etc. Una de las partes más importantes de los programas dedicados a la infografía son los motores de render los cuales son capaces de realizar técnicas complejas como radiosidad, raytrace (trazador de rayos), canal alpha, reflexión, refracción, iluminación global, etc.
Cuando se trabaja en un programa de diseño 3D por computadora, no es posible visualizar en tiempo real el acabado final deseado de una escena 3D compleja ya que esto requiere una potencia de cálculo demasiado elevada. Por lo que se opta por crear el entorno 3D con una forma de visualización más simple y técnica y luego generar el lento proceso de renderización para conseguir los resultados finales deseados.
3.2 Visualización de objetos
En este caso trataremos con las proyecciones que van del espacio al plano (3D a 2D). La proyección de objetos tridimensionales serán definidos por la intersección de líneas rectas que van desde un centro de proyección u ojo, hasta cada punto del objeto.
Proyección Acotada
Es una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección. La proyección acotada es muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos irregulares; razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas; construcción de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras, determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.
Denominada también perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observación y el objeto se encuentran relativamente cercanos. Es el sistema de representación gráfico en donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el ojo del observador), proyectándose la imagen en un plano auxiliar situado entre el objeto a representar y el punto de vista.
PROYECCIÓN ORTOGONAL
La Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
Existen diferentes tipos:
- Vista A: Vista frontal o alzado
- Vista B: Vista superior o planta
- Vista C: Vista derecha o lateral derecha
- Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda
- Vista E: Vista inferior
- Vista F: Vista posterior
Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La figura muestra una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de proyección a la posición (xp, Yp).
3.3 Transformaciones Tridimensionales.
Son extensiones de las transformaciones en dos dimensiones.• En el caso 2D teníamos inicialmente matrices 2x2, pero eso sólo nos permitía operaciones del tipo:
Método De Traslación.
En una representación coordenada homogénea tridimensional, un punto es trasladado (fig.11.1) de la posición (x,y,z) a la posición (x’,y’,z’) con la Operación matricial.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Los parámetros Tx, Ty, Tz, que especifican distancias de traslación para las coordenadas, reciben la asignación de cualquier valor real. La representación matricial de la ecuación 11.1 es equivalente a las tres ecuaciones:
x’ =x + Tx, y’ = y + Ty, z’ =z + Tz
Un objetivo se traslada en tres dimensiones transformando cada punto definidor del objeto. La traslación de un objeto representada como un conjunto de superficies poligonales se efectúa trasladando los valores coordenados para cada vértice de cada superficie. El conjunto de posiciones coordenadas trasladadas de los vértices define entonces la nueva posición del objeto.
Metodo De Escalacion.
Operación matricial.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Los parámetros de escalación Sx, Sy, Sz, se les asigna asignación cualquier valor positivo. Cuando la transformación 11-3 se aplica para definir puntos en un objeto, el objeto se escala y se desplaza en relación con el origen coordenado.
Método De Rotación
Para especificar una transformación de rotación de un objeto, se debe designar un eje de rotación (en torno al cual se hará girar el objeto) y la cantidad de rotación angular. En aplicaciones bidimensionales, el eje de rotación siempre es perpendicular al plano xy. En tres dimensiones, un eje de rotación puede tener cualquier orientación espacial.los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos que son paralelos a los ejes coordenados. Asimismo, podemos valernos de las rotaciones en torno a los tres ejes coordenados con el fin de producir una rotación en torno a cualquier eje de rotación especificado en forma arbitraria.
Las direcciones de rotación positivas en torno a los ejes coordenados son en sentido contrario al del reloj, como se observa a lo largo de la posición positiva de cada eje en dirección del origen.
Operación matricial de rotación en el eje Z
El parámetro Ѳ especifica el ángulo de rotación.
Imagen que muestra la rotación de un objeto en torno al eje Z
Operación matricial de rotación en el eje X
Las direcciones de rotación positivas en torno a los ejes coordenados son en sentido contrario al del reloj, como se observa a lo largo de la posición positiva de cada eje en dirección del origen.
Operación matricial de rotación en el eje Z
El parámetro Ѳ especifica el ángulo de rotación.
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Imagen que muestra la rotación de un objeto en torno al eje Z
Operación matricial de rotación en el eje X
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
Operación matricial de rotación en el eje y
[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]
3.4 Líneas y Superficies Curvas
La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos representar objetos reales. Normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real.
La representación no paramétrica de una curva puede ser implícita y = f(x) o bien explícita, f(x, y) = 0
La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x, mientras que la forma explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas.
De igual manera la representación paramétrica tiene la forma P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2
La derivada o vector tangente es P’ (t) = ( x’(t), y’(t) )T
El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva.
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